Question

下列正确结论的序号是

 

．
①连续函数f（x）在区间（a，b）上有零点的充要条件为f（a）•f（b）＜0；
②若函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=

1

2

x+2，则f（1）+f′（1）=3；
③对?x＞0，不等式2^x+

1

2x

-a＞0恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，2）；
④若f（x）=x⁵+x⁴+x³+2x+1，则f（2）的值用二进制表示为111101．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，举例说明连续函数f（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）在区间（0，4）上有两个零点，但f（0）•f（4）＞0，可判断①；
②，依题意，可知f′（1）=

1

2

，f（1）=

1

2

×1+2=

5

2

，从而可判断②；
③，对?x＞0，不等式2^x+

1

2x

-a＞0恒成立?a＜（2^x+

1

2x

）_min，而当x＞0时，2^x+

1

2x

无最小值，从而可判断③；
④，用二进制表示为111101，与f（2）=2⁵+2⁴+2³+2×2+0×2¹+1比较即可判断④．

解答： 解：对于①，连续函数f（x）在区间（a，b）上有零点不能得出f（a）•f（b）＜0，如f（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）在区间（0，4）上有两个零点，但f（0）•f（4）＞0，即充分性不成立；反之，则可，故①错误；
对于②，若函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=

1

2

x+2，
则f（1）的值与y=

1

2

x+2中，当x=1时的函数值相等，即f（1）=

1

2

×1+2=

5

2

，又f′（1）=

1

2

（为切线方程y=

1

2

x+2的斜率），故f（1）+f′（1）=3，②正确；
对于③，?x＞0，不等式2^x+

1

2x

-a＞0恒成立，则a＜（2^x+

1

2x

）_min=2，
而当x＞0时，2^x+

1

2x

无最小值，
所以实数a的取值范围不是（-∞，2），故③错误；
对于④，因为f（x）=x⁵+x⁴+x³+2x+1，（111101）₂=2⁵+2⁴+2³+2×2+0×2¹+1=f（2），故④正确．
故答案为：②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查函数的零点、充分必要条件的概念及应用，考查导数的几何意义、二进制的应用，考查转化思想．