Question

已知椭圆E的中点在原点，焦点在坐标轴上，且经过（

2

，

2

2

）与（1，

3

2

）两点
（1）求E的方程；
（2）设直线L：y=kx+m（k≠0，m＞0）与E交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求△OPQ面积的最大值及此时直线L的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆E的方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），把（

2

，

2

2

）与（1，

3

2

）两点代入，能求出椭圆E的方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为（x₀，y₀）将直线y=kx+m与

x2

4

+y2=1联立，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，弦长公式，结合已知条件能求出△OPQ面积的最大值及此时直线L的方程．

解答： 解：（1）设椭圆E的方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n）
∵椭圆经过（

2

，

2

2

）与（1，

3

2

）两点，
∴

2m+ 1 2 n=1 m+ 3 4 n=1

，
解得m=

1

4

，n=1，
∴椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为（x₀，y₀）
将直线y=kx+m与

x2

4

+y2=1联立，
得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=16（4k²+1-m²）＞0，即4k²+1＞m²①
又x₀=

x1+x2

2

=

-4km

1+4k2

，y₀=

y1+y2

2

=

m

1+4k2

，
依题意有

y0-0

x0-(-1)

=-

1

k

，
整理得3km=4k²+1②
由①②可得k²＞

1

5

，∵m＞0，∴k＞0，∴k＞

5

5

，
设O到直线l的距离为d，
则S_△OPQ=

1

2

d•|PQ|=

1

2

•

m

1+k2

•

1+k2 16(4k2+1-m2)

1+4k2

=

2 (4k2+1)(5k2-1)

9k2

=

2

9

20+ 1 k2 - 1 k4

，
当

1

k2

=

1

2

时，△OPQ的面积取最大值1，
此时k=

2

，m=

3 2

2

，∴直线方程为y=

2

x+

3 2

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查△OPQ面积的最大值及此时直线L的方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，弦长公式的合理运用．