Question

2012年10月莫言获得诺贝尔文学奖后，其家乡山东高密政府准备投资6.7亿元打造旅游带，包括莫言旧居周围的莫言文化体验区，红高粱文化休闲区，爱国主义教育基地等；为此某文化旅游公司向社会公开征集旅游带建设方案，在收到的方案中甲、乙、丙三个方案引起了专家评委的注意，现已知甲、乙、丙三个方案能被选中的概率分别为

2

5

，

3

4

，

1

3

，且假设各自能否被选中是无关的．
（1）求甲、乙、丙三个方案只有两个被选中的概率；
（2）记甲、乙、丙三个方案被选中的个数为ξ，试求ξ的期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：计算题,概率与统计

分析：记甲、乙、丙三个方案被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）=

2

5

，P（B）=

3

4

，P（C）=

1

3

；
（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：①甲未被选中，乙、丙被选中，②乙未被选中，甲、丙被选中，③丙未被选中，甲、乙被选中，从而求概率；
（2）由题意可知ξ的可能取值为0，1，2，3．求其概率从而求数学期望．

解答： 解：记甲、乙、丙三个方案被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）=

2

5

，P（B）=

3

4

，P（C）=

1

3

．
（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：
①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为P₁=

3

5

×

3

4

×

1

3

=

3

20

．
②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为P₂=

2

5

×

1

4

×

1

3

=

1

30

．
③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为P₃=

2

5

×

3

4

×

2

3

=

1

5

．
以上三种情况是互斥的．因此只有两个方案被选中的概率为P=

3

20

+

1

5

+

1

30

=

23

60

．
（2）由题意可知ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=

3

5

×

1

4

×

2

3

=

1

10

；
P（ξ=1）=

2

5

×

1

4

×

2

3

+

2

3

×

3

5

×

3

4

+

1

4

×

3

5

×

1

3

=

25

60

；
由（1）知P（ξ=2）=

23

60

；
P（ξ=3）=

2

5

×

3

4

×

1

3

=

1

10

．
故Eξ=0×

1

10

+1×

25

60

+2×

23

60

+3×

1

10

=

89

60

．

点评：本题考查了数学期望的求法，属于基础题．