Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线倾斜角为α，β，且sinα-cosβ=

2 10

5

，则双曲线离心率

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：三角函数的求值,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线倾斜角为α，β，且sinα-cosβ=

2 10

5

，求出tanα=

b

a

=

1

3

，或tanα=

b

a

=3，进而结合双曲线的性质，可得双曲线离心率．

解答： 解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线的倾斜角为α，β，
若α＜β，则sinα＞0，cosβ=-cosα＜0，
此时sinα-cosβ=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）=

2 10

5

，
∴sin（α+

π

4

）=

2 5

5

，则cos（α+

π

4

）=±

5

5

，
∴tan（α+

π

4

）=

1+tanα

1-tanα

=±2，
∴tanα=

b

a

=

1

3

，或tanα=

b

a

=3，
∴a=3b，或a=

1

3

b，
∴c=

10

3

a，或c=

10

a，
∴e=

10

3

，或e=

10

，
若α＞β，则sinα＞0，cosβ=-cosα＞0，
此时sinα-cosβ=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）=

2 10

5

，
∴sin（α+

π

4

）=

2 5

5

，则cos（α+

π

4

）=-

5

5

，
∴tan（α+

π

4

）=

1+tanα

1-tanα

=-2，
∴tanα=

b

a

=3，
则e=

10

，
综上双曲线离心率为

10

3

，或

10

，
故答案为：

10

3

，或

10

点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质，三角函数化简求值，是三角函数与圆锥曲线的综合应用，难度不大，属于基础题．