Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，G为△BC₁D的重心，
（1）试证：A₁，G，C三点共线
（2）试证：A₁C⊥平面BC₁D
（3）求点C到平面BC₁D的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用向量法，证明

CG

∥

CA1

，利用

CG

与

CA1

有公共点C，可得A₁、G、C三点共线；
（2）利用向量法，证明CA₁⊥BC₁，CA₁⊥BD，即可证明A₁C⊥平面BC₁D；
（3）|

CA1

|=

3

a，因此|

CG

|=

3

3

a，即可求出点C到平面BC₁D的距离．

解答： （1）证明：

CA1

=

CB

+

BA

+

AA1

=

CB

+

CD

+

CC1

，
∴

CG

=

1

3

（

CB

+

CD

+

CC1

）=

1

3

CA1

，
∴

CG

∥

CA1

，
∵

CG

与

CA1

有公共点C，
∴A₁、G、C三点共线．
（2）证明：设

CB

=

a

，

CD

=

b

，

CC1

=

c

，
则|

a

|=|

b

|=|

c

|=a，且

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=0，
∵

CA1

=

a

+

b

+

c

，

BC1

=

c

-

a

，
∴

CA1

•

BC1

=（

a

+

b

+

c

）•（

c

-

a

）=0，
∴

CA1

⊥

BC1

，即CA₁⊥BC₁，
同理可证：CA₁⊥BD，
因此A₁C⊥平面BC₁D．
（3）解：∵

CA1

=

a

+

b

+

c

，
∴

CA1

²=

a

²+

b

²+

c

²=3a²，
即|

CA1

|=

3

a，因此|

CG

|=

3

3

a．
即C到平面BC₁D的距离为

3

3

a．

点评：本题考查点共线，考查线面垂直，考查C到平面BC₁D的距离，正确运用向量是关键．