Question

设函数f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2011π），则函数f（x）的各极大值之和为（　　）

• A、

  en(1-e2012n)

  1-e2n

• B、

  en(1-e1006n)

  1-en

• C、

  en(1-e1006n)

  1-e2n

• D、

  en(1-e2010n)

  1-e2n

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：由题意求导f′（x）=e^x（sinx-cosx）+e^x（cosx+sinx）=2e^xsinx=0；从而确定极值点，再确定极大值点，从而求极大值，再由等比数列求和．

解答： 解：∵f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴令f′（x）=e^x（sinx-cosx）+e^x（cosx+sinx）
=2e^xsinx=0；
则x=kπ，
故函数f（x）的极大值点为π+2kπ，
故函数f（x）的各极大值为e^π（sinπ-cosπ），e^3π（sin3π-cos3π），e^5π（sin5π-cos5π），…，e^2009π（sin2009π-cos2009π）；
即e^π，e^3π，e^5π，…，e^2009π；
故其和为e^π+e^3π+e^5π+…+e^2009π
=

eπ(1-e2π•1005)

1-e2π

=

eπ(1-e2010π)

1-e2π

；
故选D．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了三角函数及等比数列，属于中档题．