Question

7．已知$A=\{y|y=\frac{1}{{{2^x}+1}}，x≥0\}$，命题P：?x∈A，使得m≤x成立，命题q：函数$f（x）=\frac{m}{x}$在（0，+∞）上单调递减．
（1）求集合A；
（2）若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）y=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，x≥0，可得$0＜y≤\frac{1}{2}$．可得集合A．
（2）对于命题p：?x∈A，使得m≤x成立，可得m$≤\frac{1}{2}$．命题q：函数$f（x）=\frac{m}{x}$在（0，+∞）上单调递减，可得m＞0．p∧q为假命题，p∨q为真命题，可得p与q必然一真一假．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，x≥0，∴$0＜y≤\frac{1}{2}$．A=$（0，\frac{1}{2}]$，
（2）对于命题p：?x∈A，使得m≤x成立，∴m$≤\frac{1}{2}$．
命题q：函数$f（x）=\frac{m}{x}$在（0，+∞）上单调递减，∴m＞0．
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，
p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{2}}\\{m≤0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{1}{2}}\\{m＞0}\end{array}\right.$．
解得m≤0，或$m＞\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．