Question

8．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的长轴长为$4\sqrt{2}$，点A，B，C在椭圆E上，其中点A是椭圆E的右顶点，直线BC过原点O，点B在第一象限，且|BC|=2|AB|，$cos∠ABC=\frac{1}{5}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）与x轴不垂直的直线l与圆x²+y²=1相切，且与椭圆E交于两个不同的点M，N，求△MON的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意可得2a=4$\sqrt{2}$，解得a．由点A是椭圆E的右顶点，直线BC过原点O，点B在第一象限，且|BC|=2|AB|，可得|BO|=|AB|，
又$cos∠ABC=\frac{1}{5}$，|OA|=a=2$\sqrt{2}$，利用余弦定理解得|BO|．可得B$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，代入椭圆方程即可得出．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设直线L的方程为：y=kx+m．与椭圆方程联立化为（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，△＞0，化为8k²+4＞m²．利用根与系数的关系可得则|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．由直线l与圆x²+y²=1相切，可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，化为m²=1+k²，利用S_△MON=$\frac{1}{2}$|MN|，通过换元再利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

解答 解：（I）∵2a=4$\sqrt{2}$，∴a=2$\sqrt{2}$．
∵点A是椭圆E的右顶点，直线BC过原点O，点B在第一象限，且|BC|=2|AB|，
∴|BO|=|AB|，
∵$cos∠ABC=\frac{1}{5}$，|OA|=a=2$\sqrt{2}$，
∴|OA|²=|BO|²+|AB|²-2|BO||AB|cos∠ABO，
∴8=2|BO|²$（1-\frac{1}{5}）$，解得|BO|=$\sqrt{5}$．
∴B$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，代入椭圆方程可得：$\frac{2}{8}+\frac{3}{{b}^{2}}$=1=1，解得b²=4．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设直线l的方程为：y=kx+m．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化为（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∵直线l与椭圆相交于不同的两点，∴△＞0，化为8k²+4＞m²．
∴x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
则|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{8{k}^{2}-{m}^{2}+4}}{1+2{k}^{2}}$，
∵直线l与圆x²+y²=1相切，∴$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，化为m²=1+k²，
∴|MN|=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{7{k}^{2}+3}}{1+2{k}^{2}}$，
则S_△MON=$\frac{1}{2}$|MN|×1=$\frac{\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{7{k}^{2}+3}}{1+2{k}^{2}}$，
令1+2k²=t≥1，则k²=$\frac{t-1}{2}$代入上式可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{-（\frac{1}{t}-3）^{2}+16}$，
∵t≥1，∴$0＜\frac{1}{t}≤1$，∴$\frac{\sqrt{14}}{2}$＜S_△MON≤$\sqrt{6}$．
即△MON的面积的取值范围是$（\frac{\sqrt{14}}{2}，\sqrt{6}]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．