Question

18．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=bcosC+$\sqrt{3}$csinB．
（1）若a²sinC=4$\sqrt{3}$sinA，求△ABC的面积；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{7}$，且c＞b，BC边的中点为D，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为内角，利用特殊角的三角函数值可求出B的度数，由正弦定理化简已知可得ac的值，利用三角形面积公式即可得解．
（2）由余弦定理整理可得：c²-6c+5=0，从而解得c的值，在△ABD中，由余弦定理即可求得AD的值．

解答 解：（1）∵a=bcosC+$\sqrt{3}$csinB．
∴由正弦定理得：sinA=sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC①，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，
∴$\sqrt{3}$sinB=cosB，即tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵B为三角形的内角，
∴B=$\frac{π}{6}$，
∵a²sinC=4$\sqrt{3}$sinA，由正弦定理可得：a²c=4$\sqrt{3}$a，可得：ac=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵由（1）可得：B=$\frac{π}{6}$，又a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：7=c²+12-2×$2\sqrt{3}×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
整理可得：c²-6c+5=0，
∴解得：c=5，或1（由c＞b，舍去），
∵BC边的中点为D，
∴在△ABD中，由余弦定理可得：
AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}-2AB•BD•cosB}$=$\sqrt{25+3-2×5×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦函数公式在解三角形中的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．