Question

3．定义min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，设f（x）=min{x²，$\frac{1}{x}$}，则由函数f（x）的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（　　）

• A． $\frac{7}{12}$
• B． $\frac{5}{12}$
• C． $\frac{1}{3}+ln2$
• D． $\frac{1}{6}+ln2$

Answer 1

分析 根据题目给出的函数定义，写出分段函数f（x）=min{x²，$\frac{1}{x}$}，由图象直观看出所求面积的区域，然后直接运用定积分求解阴影部分的面积．

解答 解：由$\frac{1}{x}$=x²，得：x=1，
又当x＜0时，$\frac{1}{x}$＜x²，
所以，根据新定义有f（x）=min{x²，$\frac{1}{x}$}=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，0＜x≤1}\\{\frac{1}{x}，x＜0或x＞1}\end{array}\right.$，
图象如图，
所以，由函数f（x）的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分，
其面积为S=${∫}_{0}^{1}$x²dx+${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x}$dx=$\frac{1}{3}{x}^{3}$|${\;}_{0}^{1}$+lnx|${\;}_{1}^{2}$=$\frac{1}{3}$+ln2，
故选：C．

点评 本题考查了定积分在求面积中的应用，考查了新定义，训练了学生的作图能力，解答要用数形结合画出所求面积的区域，此题是中档题．