Question

15．已知函数f（x）=|x-10|-|x-25|，且关于x的不等式f（x）＜10a+10（a∈R）的解集为R．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求2a+$\frac{27}{{a}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的意义．将问题转化为15≤10a+10，解不等式即可；（2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-10|-|x-25|，
若关于x的不等式f（x）＜10a+10（a∈R）的解集为R，
即15＜10a+10，解得：a＞$\frac{1}{2}$；
（2）2a+$\frac{27}{{a}^{2}}$=a+a+$\frac{27}{{a}^{2}}$≥3$\root{3}{a•a•\frac{27}{{a}^{2}}}$=9，
当且仅当a=a=$\frac{27}{{a}^{2}}$时即a=3时“=”成立．

点评 本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．