Question

4．设数列{b_n}满足b_n=2b_n-1+n（n=2，3，…）．
（Ⅰ）若{b_n}是等差数列，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b₁=1时，求数列{b_n}的通项公式与前n项和公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{b_n}的公差为d，从而可得b_n-b_n-1=b_n-1+n=d，从而解得；
（Ⅱ）化简可得d=3，从而求数列{b_n}的通项公式与前n项和公式．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{b_n}的公差为d，
∵b_n=2b_n-1+n（n≥2，n∈N），
∴b_n-b_n-1=b_n-1+n=d，
∴b_n-1=-（n-1）-1+d，
∴b_n=-n-1+d；
（Ⅱ）∵b₁=-1-1+d=1，
∴d=3；
∴b_n=-n-1+3=-n+2；
故其前n项和公式
S_n=$\frac{（1-n+2）n}{2}$=$\frac{（3-n）n}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的性质与应用，同时考查了学生的化简运算能力．