Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{b_n}的通项b_n；
（3）若，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）∵S_n=2ⁿ，∴S_n-1=2^n-1，（n≥2）．
∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）．（2分）
当n=1时，2^1-1=1≠S₁=a₁=2，
∴（4分）

（2）∵b_n+1=b_n+（2n-1），
∴b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b₄-b₃=5，…，b_n-b_n-1=2n-3，
以上各式相加得．
∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n．（8分）

（3）由题意得
∴T_n=-2+0×2¹+1×2²+2×2³+…+（n-2）×2^n-1，
∴2T_n=-4+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）×2ⁿ，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-2）×2ⁿ=
=2ⁿ-2-（n-2）×2ⁿ=-2-（n-3）×2ⁿ，
∴T_n=2+（n-3）×2ⁿ．（12分）．
分析：（1）当n大于等于2时，根据S_n=2ⁿ，得到S_n-1=2^n-1，两者相减即可得到a_n的通项公式，当n=1时，求出S₁=a₁=2，分两种情况n=1和n大于等于2写出数列{a_n}的通项a_n；
（2）分别令n=1，2，3，…，n列举出数列的各项，得到b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b₄-b₃=5，…，b_n-b_n-1=2n-3，以上各式相加后，利用等差数列的前n项和公式化简后，将b₁=-1代入即可求出数列{b_n}的通项b_n；
（3）分两种情况n等于1和n大于等于2，把（1）和（2）中分别求出的两通项公式代入，得到数列{c_n}的通项公式，列举出数列{c_n}的前n项和T_n，两边同乘以2后，两等式相减后，利用等比数列的前n项和公式化简后，即可得到数列{c_n}的前n项和T_n的通项公式．
点评：此题考查学生灵活运用数列的递推式确定数列为等比数列，在求通项公式时应注意经验首项是否满足通项，会利用错位相减的方法求数列的和，灵活运用等差数列及等比数列的前n项和公式化简求值，是一道中档题．