Question

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．

Answer 1

（1）见解析；（2）.

解析试题分析：（1）只需证明.由函数f(x)的图象关于直线对称，可得，
即有．根据函数是定义在R上的奇函数，故有＝－．
从而由，得到，即f(x)是周期为4的周期函数．
(2)首先由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得到f(0)＝0.
根据x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝.    
利用函数的周期性得到，x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式.
试题解析：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线对称，有，
即有                                     2分
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有＝－．
故，从而，即是周期为4的周期函数．                               6分
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0.
时，.    
故时，                                    9分
时，.
从而，时，函数f(x)的解析式为.             12分
考点：函数的奇偶性、周期性