Question

已知函数满足，对任意都有，且．
（1）求函数的解析式；
（2）是否存在实数，使函数在上为减函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在实数，.

解析试题分析：（1）根据 求得；
根据对任意，有，确定图像的对称轴为直线，求得；
利用对任意都有，转化成对任意成立，解得.
（2）化简函数 ，其定义域为，
令，利用复合函数的单调性，得到求解，得，肯定存在性.
试题解析：
（1）由及 ∴      1分
又对任意，有
∴图像的对称轴为直线，则，∴       3分
又对任意都有，
即对任意成立，
∴，故                                  6分
∴                                              7分
（2）由（1）知 ，其定义域为     8分
令
要使函数在上为减函数，
只需函数在上为增函数，               11分
由指数函数的单调性，有，解得           13分
故存在实数，当时，函数在上为减函数      14分
考点：二次函数的图象和性质，待定系数法，复合函数的单调性，对数函数的性质.