Question

已知函数,.
(Ⅰ)若函数的图象与轴无交点，求的取值范围；
(Ⅱ)若函数在上存在零点，求的取值范围；
(Ⅲ)设函数，.当时，若对任意的，总存在，使得，求的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)或.

解析试题分析：(Ⅰ)函数的图像与轴无交点，那么函数对应的方程的判别式，解不等式即可；(Ⅱ)先判断函数在闭区间的单调性，然后根据零点存在性定理，可知，解方程组求得同时满足两个表达式的的取值范围；(Ⅲ)若对任意的，总存在，使，只需函数的值域为函数值域的子集即可.先求出函数在区间上的值域是，然后判断函数的值域.分，，三种情况进行分类讨论，当时，函数是一次函数，最值在两个区间端点处取得，所以假设其值域是，那么就有成立，解相应的不等式组即可.
试题解析：(Ⅰ)若函数的图象与轴无交点，则方程的判别式，
即，解得.                            3分
(Ⅱ)的对称轴是，所以在上是减函数，在上存在零点，则必有：
，即，
解得：，故实数的取值范围为；                 8分
(Ⅲ)若对任意的，总存在，使，只需函数的值域为函数值域的子集.当时，的对称轴是，所以的值域为， 下面求，的值域，
①当时，，不合题意，舍；
②当时，的值域为，只需要：
，解得；
③当时，的值域为，只需要：
，解得；
综上：实数的取值范围或.                                14分
考点：1.方程根的个数与判别式的关系；2.零点存在性定理；3.二次函数在闭区间上的值域；4.一次函数的单调性；5.二次函数的图像与性质