Question

17．与（x-2）²+y²=1外切且与（x+2）²+y²=49内切的动圆圆心M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

Answer 1

分析 由题意，C₁（-2，0），C₂（2，0），设动圆圆心M（x，y），半径为r，则|MC₂|=r+1，|MC₁|=7-r，可得|MC₁|+|MC₂|=8＞|C₁C₂|=4，利用椭圆的定义，即可求动圆圆心M的轨迹方程．

解答 解：由题意，C₁（-2，0），C₂（2，0），设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，则|MC₂|=r+1，|MC₁|=7-r，
∴|MC₁|+|MC₂|=8＞|C₁C₂|=4，
由椭圆的定义知，点M的轨迹是以C₁、C₂为焦点的椭圆，且2a=8，c=2，∴a=4，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{3}$
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查统一的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．