Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}，x∈[0，\frac{1}{2}]}\\{\frac{2{x}^{2}}{x+2}，x∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，g（x）=acos$\frac{πx}{2}$+5-2a（a＞0），若对任意的x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是[$\frac{5}{2}$，$\frac{13}{3}$]．

Answer 1

分析 根据f（x）的解析式求出其值域，再求出g（x）在x∈[0，1]上的值域，由对任意的x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立得到关于a的不等式组，从而求出a的取值范围．

解答 解：∵x∈（$\frac{1}{2}$，1]时，f（x）=$\frac{{2x}^{2}}{x+2}$，
∴f′（x）=$\frac{2x（x+4）}{{（x+2）}^{2}}$，
当x∈（$\frac{1}{2}$，1]时，f′（x）＞0，函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，1]上为增函数，
∴f（x）∈（$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{3}$]；
当x∈[0，$\frac{1}{2}$]时，函数f（x）为减函数，∴f（x）∈[0，$\frac{1}{4}$]；
∴在[0，1]上f（x）∈[0，$\frac{2}{3}$]；
又g（x）=acos$\frac{πx}{2}$-2a+5中，
当x∈[0，1]时，cos$\frac{πx}{2}$∈[0，1]，
∴g（x）∈[-2a+5，-a+5]；
若对任意的x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{-a+5≥\frac{2}{3}}\\{-2a+5≤0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{5}{2}$≤a≤$\frac{13}{3}$，
故答案为：[$\frac{5}{2}$，$\frac{13}{3}$]．

点评 本题考查了函数的零点以及数学转化思想，解题时应把函数零点的研究转化为元素与集合之间的关系问题来解答．