Question

10．如图，等腰直角三角形ABE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，AE⊥BE，AB=2，FC⊥平面ABCD，且FC=1．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅲ）求点C到平面BDF的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）根据线面平行的判定定理证明EF∥GC，即可证明EF∥平面ABCD；
（Ⅲ）根据点到平面的距离进行求解即可求点C到平面BDF的距离．

解答 证明：（Ⅰ）∵FC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴FC⊥AB，
∵ABCD是正方形，
∴AB⊥BC，
∵BC∩CF=C，
∴AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）取AB的中点G，连接EG，GC，
∵等腰直角三角形ABE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，
∴EG⊥AE，EG⊥平面ABCD，
∵FC⊥平面ABCD，
∴EG∥FC，
∵AB=2，FC=1，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB=1，
即EG=FC，
则四边形CGEF是矩形，
∴EF∥GC，
∵EF?平面ABCD，GC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD；
解：（Ⅲ）连接AC交BD于O，
则BD⊥平面COF，连接OF，
过C作CH⊥OF与H，
则CH⊥平面COF，
即CH是点C到平面BDF的距离．
∵AB=2，∴AC=2$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{2}$，
则OF=$\sqrt{O{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$，
则由三角形OCF的面积S=$\frac{1}{2}$OC•CF=$\frac{1}{2}$OF•CH，
得CH=$\frac{OC•CF}{OF}$=$\frac{\sqrt{2}×1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
即点C到平面BDF的距离是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定以及点到平面的距离的计算，利用相应的判定定理以及点到平面的距离的定义是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．