Question

18．设α、β均为锐角，则$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{1}{co{s}^{2}αco{s}^{2}βsi{n}^{2}β}$的最小值是9．

Answer 1

分析 先把β放缩掉，再用基本不等式，即可求出$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{1}{co{s}^{2}αco{s}^{2}βsi{n}^{2}β}$的最小值．

解答 解：$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{1}{co{s}^{2}αco{s}^{2}βsi{n}^{2}β}$=$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{4}{co{s}^{2}αsi{n}^{2}2β}$
≥$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{4}{co{s}^{2}α}$=（sin²α+cos²α）（$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{4}{co{s}^{2}α}$）
=5+4tan²α+$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$≥5+4=9
当且仅当sin2β=1，tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
∴$\frac{1}{si{n}^{2}α}$+$\frac{1}{co{s}^{2}αco{s}^{2}βsi{n}^{2}β}$的最小值是9，
故答案为：9．

点评 本题考查放缩法的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，正确放缩是关键．