Question

7．在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin²A+sin²B+sinAsinB=sin²C
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求$\frac{a+b}{c}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及由正弦定理得：$\frac{a+b}{c}=\frac{2}{3}\sqrt{3}（sinA+sinB）$，又$sinA+sinB=sin（A+\frac{π}{3}）$，结合A的范围，利用正弦函数的图象和性质可得$sinA+sinB∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$，进而可求$\frac{a+b}{c}=\frac{2}{3}\sqrt{3}（sinA+sinB）$ 的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵sin²A+sin²B+sinAsinB=sin²C，
∴由正弦定理得：a²+b²-c²=-ab，…（3分）
由余弦定理得：$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=-\frac{1}{2}$，
可得：$C=\frac{2π}{3}$．…（7分）
（Ⅱ）由正弦定理得：$\frac{a+b}{c}=\frac{sinA+sinB}{sinC}=\frac{2}{3}\sqrt{3}（sinA+sinB）$，…（9分）
又∵$A+B=\frac{π}{3}$，∴$B=\frac{π}{3}-A$，
∴$sinA+sinB=sinA+sin（\frac{π}{3}-A）=sin（A+\frac{π}{3}）$，…（12分）
而$0＜A＜\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴$sinA+sinB∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$，
∴$\frac{a+b}{c}∈（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}]$．…（15分）

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．