Question

16．已知z为复数，ω=z+$\frac{9}{z}$为实数，
（1）当-2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；
（2）当-4＜ω＜2时，若u=$\frac{α-z}{α+z}$（α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设z=x+yi，x，y∈R，则ω=$x+\frac{9x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$（y-\frac{9y}{{x}^{2}+{y}^{2}}）$i为实数，可得y-$\frac{9y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=0，因此y=0，或x²+y²=9．通过分类讨论即可得出．
（2）由（1）可得：①y=0时，ω=x+$\frac{9}{x}$，由-4＜ω＜2，可得-4＜$x+\frac{9}{x}$＜2，利用基本不等式的性质即可得出．②x²+y²=9时．ω=2x，由于-4＜ω＜2，即可得出x的取值范围．由u=$\frac{α-z}{α+z}$（α＞0）为纯虚数，化简可得α，再利用模的计算公式、函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）设z=x+yi，x，y∈R，
则ω=z+$\frac{9}{z}$=x+yi+$\frac{9}{x+yi}$=x+yi+$\frac{9（x-yi）}{（x+yi）（x-yi）}$=$x+\frac{9x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$（y-\frac{9y}{{x}^{2}+{y}^{2}}）$i为实数，
∴y-$\frac{9y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=0，∴y=0，或x²+y²=9．
①y=0时，ω=x+$\frac{9}{x}$
∵-2＜ω＜10，∴-2＜$x+\frac{9}{x}$＜10，
x＞0时，解得1＜x＜9．x＜0时，x∈∅．
综上可得：y=0时，点Z的轨迹方程是$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{1＜x＜9}\end{array}\right.$．
②x²+y²=9时．
ω=2x，
∵-2＜ω＜10，∴-2＜2x＜10，
解得-1＜x＜5．
因此x²+y²=9时．可得：点Z的轨迹方程是x²+y²=9（-1＜x＜5）．
（2）由（1）可得：①y=0时，ω=x+$\frac{9}{x}$
∵-4＜ω＜2，∴-4＜$x+\frac{9}{x}$＜2，
∵x＜0时，$x+\frac{9}{x}$≤-6；x＞0时，$x+\frac{9}{x}$≥6．
综上可得：y=0时，x∈∅，点Z的轨迹无方程．
②x²+y²=9时．
ω=2x，
∵-4＜ω＜2，∴-4＜2x＜2，
解得-2＜x＜1．
∵u=$\frac{α-z}{α+z}$（α＞0）为纯虚数，
u=$\frac{（α-x-yi）（α+x-yi）}{（α+x+yi）（α+x-yi）}$=$\frac{{α}^{2}-9-2yαi}{{α}^{2}+2αx+9}$，
∴α²-9=0，2yα≠0，
解得α=3，y≠0．
∴u=$\frac{-6yi}{18+6x}$=$\frac{-yi}{3+x}$，
∵x∈（-2，1），
∴|u|=$\sqrt{\frac{{y}^{2}}{（3+x）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{3-x}{3+x}}$=$\sqrt{\frac{6}{3+x}-1}$∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{5}）$．
∴α=3，|u|∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{5}）$．

点评 本题考查了复数的运算法则、轨迹方程、基本不等式的性质、不等式的解法、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．