Question

11．设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足4S_n=a_n²+2a_n-3（n∈N^*），则a₂₀₁₆=（　　）

• A． 4029
• B． 4031
• C． 4033
• D． 4035

Answer 1

分析 4S_n=a_n²+2a_n-3（n∈N^*），n≥2时，利用递推关系化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由a_n+a_n-1＞0，可得a_n-a_n-1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵4S_n=a_n²+2a_n-3（n∈N^*），
∴n=1时，4a₁=${a}_{1}^{2}$+2a₁-3，又a₁＞0，解得a₁=3．
n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=a_n²+2a_n-3-$（{a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}-3）$，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2，首项为3．
则a₂₀₁₆=3+2（2016-1）=4033．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．