Question

8．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+5cost}\\{y=5+5sint}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ（ρ≥0，0≤θ＜2π），则C₁与C₂交点的极坐标为（2，$\frac{π}{2}$），（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．

Answer 1

分析 求出两圆的普通方程，得出公共弦方程，解方程组得出交点坐标，转化为极坐标．

解答 解：曲线C₁的普通方程为（x-4）²+（y-5）²=25，即x²+y²-8x-10y+16=0，曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²=2y，即x²+y²-2y=0．
两式相减得两圆的公共弦方程为：x+y-2=0．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴两圆的公共点坐标为（0，2），（1，1）．
∴C₁与C₂交点的极坐标为（2，$\frac{π}{2}$），（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
故答案为：（2，$\frac{π}{2}$），（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．