Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣4|．
（1）解不等式f（x）+f（1﹣x）≤10；
（2）若a+b=4，证明：f（a2）+f（b2）≥8．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）+f（1﹣x）≤10，

即|2x﹣4|+|2+2x|≤10．即|x﹣2|+|x+1|≤5，

当x≤﹣1时，不等式转化为2﹣x﹣x﹣1≤5，解得﹣2≤x≤﹣1，

当﹣1＜x＜2时，不等式转化为2﹣x+x+1≤5，不等式恒成立，

当x≥2时，不等式转化为x﹣2+x+1≤5，解得2≤x≤3．

∴不等式的解集为：{x|﹣2≤x≤3}．

（2）解：证明：若a+b=4，则b2=（4﹣a）2=a2﹣8a+16，

∴f（b2）=|2a2﹣16a+28|=2|a2﹣8a+14|，

∴f（a2）+f（b2）=2|a2﹣2|+2|a2﹣8a+14|

≥2|2a2﹣8a+12|=4|a2﹣4a+6|=4|（a﹣2）2+2|≥4×2=8．

【解析】（1）讨论x的范围，去掉绝对值符号，再解不等式；（2）把b=4﹣a代入f（b2），得出f（a2）+f（b2）关于a的解析式，利用绝对值不等式的性质化简即可得出结论．
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法和不等式的证明，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号；不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等即可以解答此题．