Question

如图，互不相同的点A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…分别在角O的两条边上，所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积均相等．设OA_n=a_n，若a₁=1，a₂=2，则a₉=

 

．

Answer 1

考点：平行线等分线段定理

专题：计算题,立体几何

分析：本题可以根据所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积均相等．然后利用所有的三角形都相似，面积比等于相似比的平方，得出一系列的等式，然后利用累乘法求得通项，进一步求得结果．

解答： 解：依题意：互不相同的点A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…分别在角O的两条边上．
∵所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积均相等．
∴利用所有的三角形都相似，面积比等于相似比的平方，
若a₁=1，a₂=2，则令S△OA1B1=m（m＞0），
∴S梯形A1B1A2B2=3m，
∴当n≥2时，

an

an-1

=

OAn

OAn-1

=

3n-2 3n-5

，
故an2=

3n-2

3n-5

an-12，
利用以累乘可得：an2=（3n-2）a12，
由于a₁=1，
∴a_n=

3n-2

，
∴a₉=5．
故答案为：5．

点评：本题应用知识较多：平行线分线段成比例定理，相似三角形面积比等于相似比的平方，数列通项中的累乘法，