Question

（本题满分13分)已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立.

（1）判断在上的单调性，并证明你的结论；

（2）解不等式；

（3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）在上为增函数，证明详见解析；（2）解集为：；（3）或或.

【解析】

试题分析：（1）抽象函数的单调性应紧扣定义，从条件出发，若能了解一些函数单调性的等价定义：如且，为区间上的增（减）函数

（），则判断更快捷些；（2）利用（1）的单调性结论解题，但不要忘记定义域；（3）恒成立求参数范围，常用的方法有：一、分离参数；二、数形结合；三、变更主元；四、等价转化.这里可先运用参数分离，然后用变更主元法，求实数的取值范围.

试题解析：（1）任取，则

，，由已知，又

，即，所以在上为增函数；

（2）在上为增函数，故有，由此解得，所以原不等式的解集为：.

（3）由（1）可知：在上为增函数，且，故对于，恒有.

所以要使，对所有，恒成立，即要成立，

故成立.设，即对，恒成立，则只需，解得或或，所以实数的取值范围为：或或.

考点：函数的综合应用及恒成立含参数问题的研究.