Question

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

 （t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|²，求a的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t₁、t₂的关系式，结合参数的几何意义，求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程ρsin²θ=acosθ（a＞0），
可化为ρ²sin²θ=aρcosθ（a＞0），
即y²=ax（a＞0）；（2分）
直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

 （t为参数），
消去参数t，化为普通方程是y=x-2；（4分）
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y²=ax（a＞0）中，
得t2-

2

(a+8)t+4(a+8)=0；
设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
则t1+t2=

2

(a+8)，t1•t2=4(a+8)；（6分）
∵|PA|•|PB|=|AB|²，
∴(t1-t2)2=t1•t2，
即(t1+t2)2=5t1•t2；（9分）
∴[

2

(8+a)]2=20(8+a)，
解得：a=2，或a=-8（舍去）；
∴a的值为2．（12分）

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程，再解答问题，是中档题．