Question

已知数列{a_n}是一个等差数列，且a₂=7，a₅=1．
（1）求{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{a_n}前多少项和最大．
（3）若b_n=a_n+2ⁿ，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由a_n=-2n+11≥0，得a₅＞0，a₆＜0，由此能求出数列{a_n}前5和最大．
（3）由b_n=a_n+2ⁿ=2ⁿ-2n+11，知T_n=a₁+a₂+…+a_n+2+2²+2³+…+2ⁿ，由此能求出结果．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是一个等差数列，且a₂=7，a₅=1，
∴

a1+d=7 a1+4d=1

，解得

a1=9 d=-2

，
∴a_n=9+（n-1）×（-2）=-2n+11．
（2）由a_n=-2n+11≥0，
得n≤

11

2

，
∴a₅＞0，a₆＜0，
∴数列{a_n}前5和最大．
（3）∵b_n=a_n+2ⁿ=2ⁿ-2n+11，
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n+2+2²+2³+…+2ⁿ
=9n+

n(n-1)

2

×(-2)+

2(1-2n)

1-2

=10n-n²+2ⁿ⁺¹-2．…（10分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和最大时项数的求法，考查前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．