【题目】已知函数,,其中e是自然对数的底数.
(1)若曲线在处的切线与曲线也相切.
①求实数a的值;
②求函数的单调区间;
(2)设,求证:当时,恰好有2个零点.
【答案】(1)①,②函数的单调减区间为,单调增区间为;(2)证明见解析
【解析】
(1)①利用导数的几何意义求出在处的切线方程,再利用切线与曲线也相切,可求得的值;②由①知,对绝对值内的数进行分类讨论,再利用导数分别研究分段函数的单调性.
(2)由,得,令,,当时,,故在上单调递增,再利用零点存在定理证明函数的极小值小于0,及,即证得结论;
(1)①由得,所以切线的斜率.
因为切点坐标为,所以切线的方程为.
设曲线的切点坐标为.
由得,
所以,得.
所以切点坐标为.
因为点也在直线上.所以.
②由①知.
当时,,
因为恒成立,所以在上单调递增.
当时,.
所以.
因为恒成立,所以在上单调递增.
注意到,所以当时,;当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.
综上,函数的单调减区间为,单调增区间为.
(2)由,得.
令,,当时,,
故在上单调递增.
又因为,且,
所以在上有唯一解,从而在上有唯一解.
不妨设为,则.
当时,,所以在上单调递减;
当时,,所以在上单调递增.
故是的唯一极值点.
令,则当时,,所以在上单调递减,
从而当时,,即,
所以,
又因为,所以在上有唯一零点.
又因为在上有唯一零点,为1,
所以在上恰好有2个零点.
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【题目】学号为1,2,3的三位小学生,在课余时间一起玩“掷骰子爬楼梯”游戏,规则如下:投掷一颗骰子,将每次出现点数除以3,若学号与之同余(同除以3余数相同),则该小学生可以上2阶楼梯,另外两位只能上1阶楼梯,假定他们都是从平地(0阶楼梯)开始向上爬,且楼梯数足够多.
(1)经过2次投掷骰子后,学号为1的同学站在第X阶楼梯上,试求X的分布列;
(2)经过多次投掷后,学号为3的小学生能站在第n阶楼梯的概率记为,试求,,的值,并探究数列可能满足的一个递推关系和通项公式.
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【题目】已知数列的前n项和为,把满足条件的所有数列构成的集合记为.
(1)若数列的通项为,则是否属于?
(2)若数列是等差数列,且,求的取值范围;
(3)若数列的各项均为正数,且,数列中是否存在无穷多项依次成等差数列,若存在,给出一个数列的通项;若不存在,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点是曲线上的动点,点在的延长线上,且,点的轨迹为.
(1)求直线及曲线的极坐标方程;
(2)若射线与直线交于点,与曲线交于点(与原点不重合),求的最大值.
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