Question

【题目】如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ) 求，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由矩形和菱形所在的平面相互垂直，，进而证得平面，证得，再根菱形ABEF的性质，证得，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面.

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD和平面ACG一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（Ⅰ）证明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，，

∵矩形菱形，∴平面，

∵AG平面，∴，

∵菱形中，，为的中点，∴，∴，

∵，∴平面.

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，

∵，，则，，

故，，，，

则，，，

设平面的法向量，则，

取，得，

设平面的法向量，则，

取，得，

设二面角的平面角为，则，

由图可知为钝角，所以二面角的余弦值为 .