Question

【题目】已知函数且，函数在点处的切线过点 .

(1) 求满足的关系式，并讨论函数的单调区间；

(2)已知，若函数在 上有且只有一个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)或或.

【解析】分析：(1)根据函数在点处的切线过点 .可得到，求出的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；

(2) 令 ，问题等价函数在]与轴只有唯一的交点，求出函数的导数，通过讨论的范围，结合函数的单调性确定的范围即可．

详解：

（1），

∴，，

∴切线方程为：，

∵切线过点， ∴，

∴，

①当时，单调递增，单调递减，

②当时，单调递减，单调递增．

（2）等价方程 在只有一个根，

即在只有一个根，

令，等价函数在与轴只有唯一的交点，

∴

①当时，在递减，的递增，

当时，，要函数在与轴只有唯一的交点，

∴或，

∴或.

②当时，在递增，的递减，递增，

∵，当时，，

∴在与轴只有唯一的交点，

③当，在的递增，

∵，

∴在与轴只有唯一的交点，

故的取值范围是或 或．