【题目】如图(1),平面直角坐标系中,的方程为
,
的方程为
,两圆内切于点
,动圆
与
外切,与
内切.
(1)求动圆圆心
的轨迹方程;
(2)如图(2),过点作
的两条切线
,若圆心在直线
上的
也同时与
相切,则称
为
的一个“反演圆”
(ⅰ)当时,求证:
的半径为定值;
(ⅱ)在(ⅰ)的条件下,已知均与
外切,与
内切,且
的圆心为
,求证:若
的“反演圆”
相切,则
也相切。
【答案】(1)(2)(ⅰ)详见解析(ⅱ)详见解析
【解析】
(1)设的半径为
,根据题意得到
,
,根据椭圆定义,即可判断出
点轨迹,从而求出轨迹方程;
(2)(ⅰ)设,得到
的半径为
,设
,由题意得到
,过
点的
的切线方程为
,由点到直线距离公式,得到
到切线的距离以及
到切线
的距离,再由
,即可证明结论成立;
(ⅱ)由的圆心为
,得到
在轨迹
上,此时
的半径为
,其反演圆
圆心为
,半径为
,再由题意,得到与
相切的反演圆
的圆心为
,或
,半径为
;分别讨论
的圆心为
,以及
的圆心为
两种情况,即可证明结论成立.
(1)由题意,设的半径为
,
与
内切,
,
与
外切,
,
,
由椭圆的定义,
点在椭圆上运动,
,
,
,
其轨迹方程为.
(2)(ⅰ)设,此时
的半径为
,
设,
则为
与
的交点,其坐标为
,
设过点的
的切线方程为
,
到切线的距离
,
到切线
的距离为:
,
,
,
当时,
的半径为定值
.
(ⅱ)当的圆心为
时,显然
在轨迹
上,
此时的半径为
,其反演圆
圆心为
,半径为
,
由题意,与相切的反演圆
的圆心为
,或
,半径为
;
1)当的圆心为
时,易知
与
重合,
其方程为,
,故
相切;
2)当的圆心为
时,
三点共线,
为直线
与椭圆
的交点,
的方程为:
,故
,
又,
的半径
,
,故
相切.
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【题目】某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”,现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优,所得分数情况如下茎叶图所示.
(1)分别计算甲、乙两地所得分数的平均值,并计算乙地得分的中位数;
(2)从乙地所得分数在间的成绩中随机抽取2份做进一步分析,求所抽取的成绩中,至少有一份分数在
间的概率;
(3)在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性,求这2份成绩都是来自甲地的概率.
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【题目】已知函数且
,函数
在点
处的切线过点
.
(1) 求满足的关系式,并讨论函数
的单调区间;
(2)已知,若函数
在
上有且只有一个零点,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数的图像经过点
,且
的相邻两个零点的距离为
,为得到
的图像,可将
图像上所有点( )
A.先向右平移个单位,再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的
,纵坐标不变
B.先向左平移个单位,再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的
,纵坐标不变
C.先向左平移个单位,再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变
D.先向右平移个单位,再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变
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【题目】已知函数.
(1)用分段函数的形式表示函数的解析式,并画出
在
上的大致图像;
(2)若关于x的方程恰有一个实数解,求出实数m的取值范围组成的集合;
(3)当时,求函数
的值域.
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【题目】在四棱锥 P - ABCD 中,锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB,AB⊥AD,AB⊥BC。
(1) 求证:BC∥平面 PAD;
(2) 平面 PAD⊥ 平面 ABCD.
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【题目】曙光中学团委组织了“弘扬奥运精神,爱我中华”的知识竞赛,从参加考试的学生中抽出名学生,将其成绩(均为整数)分成六段
,
,
,
后画出如下部分频率分布直方图,则第四小组的频率为_______,从成绩是
和
的学生中选两人,他们在同一分数段的概率_______.
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【题目】如图,在矩形中,
,
,
为边
的中点.将△
沿
翻折,得到四棱锥
.设线段
的中点为
,在翻折过程中,有下列三个命题:
① 总有平面
;
② 三棱锥体积的最大值为
;
③ 存在某个位置,使与
所成的角为
.
其中正确的命题是____.(写出所有正确命题的序号)
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