Question

若函数f（x）=x³-3x+a有三个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：由函数f（x）=x³-3x+a有三个不同的零点，
则函数f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0；
由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以函数f（x）的两个极，x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，x∈（-1，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴函数的极小值f（1）=a-2和极大值f（-1）=a+2．
因为函数f（x）=x³-3x+a有三个不同的零点，
所以，解之，得-2＜a＜2．
故实数a的取值范围是（-2，2）．
分析：已知条件转化为函数有两个极值点，并且极小值小于0，极大值大于0，求解即可．
点评：本题是中档题，考查函数的导数与函数的极值的关系，考查转化思想，计算能力．