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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
    （1）函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为______．
    （2）若函数g（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    +
    1
    x-
    1
    2
    ，则g（
    1
    2011
    ）+g（
    2
    2011
    ）+g（
    3
    2011
    ）+g（
    4
    2011
    ）+…+g（
    2010
    2011
    ）=______．
    （1）∵函数f（x）=x3-3x2+3x，∴f′（x）=3x2 -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
    令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为（1，1），
    故答案为 （1，1）．
    （2）若函数g（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    +
    1
    x-
    1
    2
    =
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    +
    2
    2x-1
    ，令h（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    ，m（x）=
    2
    2x-1
    ，则g（x）=h（x）+m（x）．
     则h′（x）=x2-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=
    1
    2
    ，故h（x）的对称中心为（
    1
    2
    ，1）．
    设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（
    1
    2
    ，1）的对称点P′（1-x0，2-y0）也在曲线上，
    ∴h（1-x0）=2-y0 ，∴h（x0）+h（1-x0）=y0+（2-y0）=2．
    ∴h（
    1
    2011
    ）+h（
    2
    2011
    ）+h（
    3
    2011
    ）+h（
    4
    2011
    ）+…+h（
    2010
    2011
    ）
    =[h（
    1
    2011
    ）+h（
    2010
    2011
    ）]+[h（
    2
    2011
    ）+h（
    2009
    2011
    ）]+[h（
    3
    2011
    ）+h（
    2008
    2011
    ）]+…+[h（
    1005
    2011
    ）+h（
    1006
    2011
    ）]=1005×2=2010．
    由于函数m（x）=
    2
    2x-1
    的对称中心为（
    1
    2
    ，0），可得m（x0）+m（1-x0）=0．
    ∴m（
    1
    2011
    ）+m（
    2
    2011
    ）+m（
    3
    2011
    ）+m（
    4
    2011
    ）+…+m（
    2010
    2011
    ）
    =[m（
    1
    2011
    ）+m（
    2010
    2011
    ）]+[m（
    2
    2011
    ）+m（
    2009
    2011
    ）]+[m（
    3
    2011
    ）+m（
    2008
    2011
    ）]+…+[m（
    1005
    2011
    ）+m（
    1006
    2011
    ）]=1005×0=0．
    ∴g（
    1
    2011
    ）+g（
    2
    2011
    ）+g（
    3
    2011
    ）+g（
    4
    2011
    ）+…+g（
    2010
    2011
    ）=h（
    1
    2011
    ）+h（
    2
    2011
    ）+h（
    3
    2011
    ）+h（
    4
    2011
    ）+…+h（
    2010
    2011
    ）
    +m（
    1
    2011
    ）+m（
    2
    2011
    ）+m（
    3
    2011
    ）+m（
    4
    2011
    ）+…+m（
    2010
    2011
    ）
    =2010+0=2010，
    故答案为2010．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
    定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”；
    定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
    己知f（x）=x3-3x2+2x+2，请回答下列问题：
    （1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
     
    ；
    （2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•昌平区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    ，请你根据上面探究结果，解答以下问题
    （1）函数f（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    的对称中心为
    （
    1
    2
    ，1）
    （
    1
    2
    ，1）
    ；
    （2）计算f(
    1
    2013
    )+f(
    2
    2013
    )+f(
    3
    2013
    )    +…+f（
    2012
    2013
    ）=
    2012
    2012
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•房山区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若f(x)=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+
    1
    6
    x+1    ，则该函数的对称中心为
    (
    1
    2
    ，1)
    (
    1
    2
    ，1)
    ，计算f(
    1
    2013
    )+f(
    2
    2013
    )+f(
    3
    2013
    )+…+f(
    2012
    2013
    )    =
    2012
    2012
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f''（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心．请你将这一发现作为条件．
    （1）．函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为
    （1，2）
    （1，2）
    ．
    （2）．若函数g(x)=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    +
    1
    x-
    1
    2
    ，则g(
    1
    2013
    )+g(
    2
    2013
    )+g(
    3
    2013
    )+…+g(
    2012
    2013
    )    =
    2012
    2012
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•安庆三模）对于三次函数f（x）-ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设ft（x）是函数y=f（x）的导数，ftt（x）是函数ft的导数，若方程ftt（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个一元三次函数都有“拐点”；且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f（x）=x3-
    3
    2
    x2+
    1
    2
    x+1，则f（
    1
    2014
    ）+f（
    2
    2014
    ）+…+f（
    2013
    2014
    ）=（　　）

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