Question

已知函数f（x）=

2x-2-x

2x+2-x

（1）求函数的定义域和值域；
（2）证明：f（x）是单调函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）化简函数f（x）的解析式，求出函数的定义域与值域为；
（2）用单调性的定义即可证明f（x）是定义域上的单调函数．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

2x-2-x

2x+2-x

=

22x-1

22x+1

=1-

2

4x+1

，
且4^x+1＞1，∴f（x）的定义域为R；
又0＜

1

4x+1

＜1，
∴-2＜-

2

4x+1

＜0，
∴-1＜1-

2

4x+1

＜1，
∴f（x）的值域为（-1，1）；
（2）证明：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

4x1+1

）-（1-

2

4x2+1

）
=

2

4x2+1

-

2

4x1+1

=

2(4x1-4x2)

(4x1+1)(4x2+1)

；
∵x₁＜x₂，
∴2（4x1-4x2）＜0，（4x1+1）（4x2+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是定义域R上的单调增函数．

点评：本题考查了根据函数的解析式求定义域和值域的问题，也考查了根据单调性的定义证明函数的单调性问题，是基础题目．