Question

若函数f（x）满足：?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，则称f（x）∈Ψ．对于函数g（x）=x³-x，h（x）=

1+x，x＜0 cosx，x≥0

，有（　　）

• A、g（x）∈Ψ且h（x）∈Ψ
• B、g（x）∈Ψ且h（x）∉Ψ
• C、g（x）∉Ψ且h（x）∈Ψ
• D、g（x）∉Ψ且h（x）∉Ψ

Answer 1

考点：全称命题

专题：函数的性质及应用

分析：先求出g（x₁）-g（x₂）|≤2|x₁-x₂|，故g（x）∉Ψ；再分类讨论，对h（x）进行判断，问题得以解决．

解答： 解：|g（x₁）-g（x₂）|=|x₁³-x₁-x₂³+x₂|=|（x₁-x₂）•（x₁²+x₁x₂+x₂²）-（x₁-x₂）|=|（x₁-x₂）||x₁²+x₁x₂+x₂²-1|，
因为x₁，x₂∈[-1，1]，
所以|x₁²+x₁x₂+x₂²|≤x₁²+|x₁x₂|+x₂²≤3
所以|x₁²+x₁x₂+x₂²-1|≤|x₁²+x₁x₂+x₂²-1|≤|x₁²+|x₁x₂|+x₂²-1|≤|3-1|≤2
所以有|g（x₁）-g（x₂）|≤2|x₁-x₂|，
所以g（x）∉Ψ；
当-1≤x＜0时，|h（x₁）-h（x₂）|=|x₁-x₂|≤|x₁-x₂|，
当0≤x≤1时，|h（x₁）-h（x₂）|=|cosx₁-cosx₂|≤|x₁-x₂|，
所述h（x）∈Ψ，
故选：C．

点评：本题属于新概念的问题，题中考查了绝对值不等式的应用．对于此类型的题目需要对题目概念做认真分析再做题．属于中档题．