Question

已知F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，点P为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上的一点，满足（

OP

+

OF2

）•

F2P

=0（O为坐标原点），且|PF₁|=

3

|PF₂|，则双曲线离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由向量的三角形法则和向量的数量积的性质，可得|

OP

|=|

OF2

|=c，即有O为△PF₁F₂外接圆的圆心，即有∠F₁PF₂=90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．

解答： 解：（

OP

+

OF2

）•

F2P

=0，
即（

OP

+

OF2

）•（

OP

-

OF2

）=0，
即有

OP

2=

OF2

2，
则|

OP

|=|

OF2

|=c，
即有O为△PF₁F₂外接圆的圆心，
即有∠F₁PF₂=90°，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|=

3

|PF₂|，
则|PF₁|=（3+

3

）a，|PF₂|=（

3

+1）a，
由|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即（3+

3

）²a²+（

3

+1）²a²=4c²，
即有c²=（4+2

3

）a²，
e=

c

a

=

3

+1．
故答案为：1+

3

．

点评：本题考查向量的数量积的性质，主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为直角是解题的关键．