Question

16．实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y-2x≤-2}\\{y≥1}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$，则$\frac{y}{x}$的取值范围是$[\frac{1}{3}，1]$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，设k=$\frac{y}{x}$，利用目标函数的几何意义，求k的最值即可．

解答 解：设k=$\frac{y}{x}$，则k的几何意义为过原点的直线的斜率：
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y-2x≤-2}\\{y≥1}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
则由图象可知，过原点的直线y=kx，当直线y=kx，经过点A时，直线的斜率k最小，
当经过点A时，直线的斜率k最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-2x=-2}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得A（2，2），此时k=$\frac{2}{2}$=1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得B（3，1），此时k=$\frac{1}{3}$，
∴直线y=kx的斜率k的取值范围是$\frac{1}{3}$≤k≤1，
故答案为：$[\frac{1}{3}，1]$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义为过原点直线的斜率，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．