Question

【题目】已知双曲线的右焦点为， 是双曲线C上的点， ，连接并延长交双曲线C与点P，连接，若是以为顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的渐近线方程为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】如图，

设F1为双曲线左焦点，连接MF1，NF1，则：

由对称性可知四边形F1NF2M

为平行四边形；

又△NF2P是以∠NF2P为顶角的等腰直角三角形，

可得∠MF2N=90°；

∴F1NF2M为矩形；

设|MF2|=x，由双曲线的定义可得，

|MF1|=2a+x；

∴|PF2|=|NF2|=|MF1|=2a+x；

∴|PF1|=2a+|PF2|=4a+x；

在Rt△MF1F2中有：

（2a+x）2+x2=4c2①；

在Rt△MF1P中有：（2a+x）2+（2a+2x）2=（4a+x）2②；

由②解得，x=a，代回①得：9a2+a2=4c2；

∴c2=a2；∴b2=c2﹣a2=a2；

∴渐近线方程为：y=±x=±x．

故答案为：B．