【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是正三角形,底面ABCD为菱形,A点E为AD的中点,若BE=PE.
(1)求证:PB⊥BC;
(2)若∠PEB=120°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
【答案】
(1)证明:由BE=PE,AB=PA,AE=AE,得△AEP≌△AEB,
∴∠EAB=60°,且AD⊥BE,
又∵AD⊥PE,
∴AD⊥平面PBE,
∵PB平面PBE,得AD⊥PB,
又AD∥BC,
∴PB⊥BC.
(2)解:如图,过P作PO⊥平面ABCD,交BE延长线于O,
以O为坐标原点,过O作DA的平行线为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,
P(0,0, ),B(0,
,0),PB的中占点G(0,
,
),连结AG,
又A(1, ,0),C(﹣2,
,0),由此得到
=(1,﹣
,﹣
),
=(0,
),
=(﹣2,0,0),
∴ =0,
=0,
∴ ,
,
∵ 的夹角为θ等于所求二面角二面角A﹣PB﹣C的平面角,
∴cos =
=﹣
.
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣ .
【解析】(1)推导出∠EAB=60°,且AD⊥BE,AD⊥PE,从而AD⊥平面PBE,进而AD⊥PB,由此能证明PB⊥BC.(2)过P作PO⊥平面ABCD,交BE延长线于O,以O为坐标原点,过O作DA的平行线为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
【考点精析】掌握空间中直线与直线之间的位置关系是解答本题的根本,需要知道相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知双曲线的右焦点为
,
是双曲线C上的点,
,连接
并延长
交双曲线C与点P,连接
,若
是以
为顶点的等腰直角三角形,则双曲线C的渐近线方程为( )
A. B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知二次函数,满足
,
.
(1)求函数的解析式;
(2)若关于的不等式
在
上有解,求实数
的取值范围;
(3)若函数的两个零点分别在区间
和
内,求实数
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: (a>b>0)的一条准线方程为x=
,离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,设A为椭圆的上顶点,过点A作两条直线AM,AN,分别与椭圆C相交于M,N两点,且直线MN垂直于x轴.
① 设直线AM,AN的斜率分别是k1, k2,求k1k2的值;
② 过M作直线l1⊥AM,过N作直线l2⊥AN,l1与l2相交于点Q.试问:点Q是否在一条定直线上?若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,左右焦点分别为
和
,以点
为圆心,以
为半径的圆与以点
为圆心,以
为半径的圆相交,且交点在椭圆
上.
()求椭圆
的方程.
()设椭圆
,
为椭圆
上任意一点,过点
的直线
交椭圆
于
、
两点,射线
交椭圆
于点
.
①求的值.
②(理科生做)求面积的最大值.
③(文科生做)当时,
面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业一天中不同时刻的用电量(万千瓦时)关于时间
(小时,
)的函数
近似满足
,如图是函数
的部分图象(
对应凌晨
点).
(Ⅰ)根据图象,求的值;
(Ⅱ)由于当地冬季雾霾严重,从环保的角度,既要控制火力发电厂的排放量,电力供应有限;又要控制企业的排放量,于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施.已知该企业某日前半日能分配到的供电量 (万千瓦时)与时间
(小时)的关系可用线性函数模型
模拟.当供电量小于该企业的用电量时,企业就必须停产.初步预计停产时间在中午11点到12点间,为保证该企业既可提前准备应对停产,又可尽量减少停产时间,请从这个初步预计的时间段开始,用二分法帮其估算出精确到15分钟的停产时间段.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量单位:克
,重量分组区间为
,
,
,
,由此得到样本的重量频率分布直方图
如图
.
(1)求的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;
(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量内的小球个数为
,求
的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com