Question

【题目】已知二次函数，满足，.

（1）求函数的解析式；

（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过f（0）=2，求出c，利用f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，求出a，b，得到函数的解析式．

（Ⅱ）求出函数f（x）的对称轴，然后求解fmax（x），列出关系式即可求解实数t的取值范围为（﹣∞，5）．

（Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，利用零点存在定理列出不等式组求解即可．

解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，

又f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，得2ax+a+b=2x﹣1，

故，解得：a=1，b=﹣2，

所以f（x）=x2﹣2x+2．

（Ⅱ）f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，对称轴为x=1∈[﹣1，2]，

又f（﹣1）=5，f（2）=2，所以fmax（x）=f（﹣1）=5．

关于x的不等式f（x）﹣t＞0在[﹣1，2]有解，则t＜f（x）max=5，

所以实数t的取值范围为（﹣∞，5）．

（Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，

则满足

解得：，所以实数m的取值范围为．