Question

【题目】△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，其面积S=a2﹣（b﹣c）2 ． 若a=2，则BC边上的中线长的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（1，4]
【解析】解：∵S=a2﹣（b﹣c）2=a2﹣b2﹣c2+2bc，
b2+c2﹣a2=2bccosA，
S= ，
∴2bc（1﹣cosA）= bcsinA，
∴sinA=4﹣4cosA，
又∵sin2A+cos2A=1，
∴cosA= ，sinA= ．
由正弦定理得 ，
∴b= ，c= ．
设BC的中点为D，则CD= ．
在△ACD中，由余弦定理得AD2=CD2+AC2﹣2ACCDcosC=1+ sin2B﹣ cosC．
∵cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB= ，
∴AD2=1+ sin2B﹣ （ ）= sin2B+ sinBcosB+1= × + sin2B+1= sin2B﹣ cos2B+ ．
= sin（2B﹣φ）+ ，其中sinφ= ，cosφ= ，∴φ= ．
∴AD2= sin（2B+A﹣ ）+ =﹣ cos（2B+A）+ ．
∵0＜B＜π﹣A，
∴A＜2B+A＜2π﹣A．
∵sinA= ，∴A ，
∴当2B+A=π时，AD2取得最大值 = =16，
当2B+A=A或2π﹣A时，AD2取得最小值﹣ × + =1．
∴1＜AD≤4．
所以答案是（1，4]．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．