Question

【题目】如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E．
（Ⅰ）求证：DC是⊙O的切线；
（Ⅱ）若EB=6，EC=6 ，求BC的长．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵⊙O是以AB为直径的圆，∠ACB=90°，∴点C在⊙O上，连接OC，可得∠OCA=∠OAC=∠DAC，∴OC∥AD，
又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC，∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线．
（Ⅱ）解：∵DC是⊙O的切线，∴EC2=EBEA，又∵EB=6，EC=6 ，∴EA=12．
∵∠ECB=∠EAC，∠CEB=∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴ ，AC= BC，
∵AC2+BC2=AB2=36，∴BC=2
【解析】（Ⅰ）先得出点C在⊙O上，连接OC，可得∠OCA=∠OAC=∠DAC，从而OC∥AD，结合AD⊥DC得出DC⊥OC，从而DC是⊙O的切线（Ⅱ）利用切割线定理求出EA=12，再证出△ECB∽△EAC，得出AC= BC，在RT△ACB中求解．