【题目】(本题满分8分)某班50名学生在一次数学测试中,成绩全部介于50与100之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),…,第五组[90,100].如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(Ⅰ)若成绩大于或等于60且小于80,认为合格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人数;
(Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为m、n,求事件“|m﹣n|>10”概率.
【答案】(Ⅰ)29;(Ⅱ)0.6
【解析】试题分析:(Ⅰ)问中认为成绩大于或等于60且小于80合格,那么根据分组说明就是第二组和第三组都是及格,加和即可得到结果;(Ⅱ)若使|m﹣n|>10,那么所抽取的两个学生必须在两个集合中抽取,如果是在 [50,60)中,最大的分数是59,最小为50,那么不满足|m﹣n|>10,所以满足所抽取的两个学生必须在两个集合中抽取的概率即可。
试题解析:(Ⅰ)根据所问即为第二组和第三组都是及格的人,由直方图得到一共有频率为0.058的人数及格,又因为一共有50名同学,所以及格的人数为人。
(Ⅱ)若使|m﹣n|>10,那么所抽取的两个学生必须在两个集合中抽取。由直方图知,成绩在的人数是
人,假设两人的成绩为
,成绩在
的人数是
人,设三人的成绩为,令
,那么进行分组讨论:
若都在A集合中抽取,那成绩分别为;若都在B集合中抽取,成绩可能为
;若在不同的集合抽取,成绩可能为
。
所以一共有10种基本事件,而符合|m﹣n|>10的事件有,所以
。
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【题目】平面直角坐标系中,已知曲线,将曲线
上所有点横坐标,纵坐标分别伸长为原来的
倍和
倍后,得到曲线
(1)试写出曲线的参数方程;
(2)在曲线上求点
,使得点
到直线
的距离最大,并求距离最大值.
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【题目】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为:弧田面积=(弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为
,半径等于
米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是
A. 平方米 B.
平方米
C. 平方米 D.
平方米
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【题目】如图1,平行四边形ABCD中,AB=2AD,∠DAB=60°,M是BC的中点.将△ADM沿DM折起,使面ADM⊥面MBCD,N是CD的中点,图2所示.
(Ⅰ)求证:CM⊥平面ADM;
(Ⅱ)若P是棱AB上的动点,当 为何值时,二面角P﹣MC﹣B的大小为60°.
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【题目】如图,在△ABC和△ACD中,∠ACB=∠ADC=90°,∠BAC=∠CAD,⊙O是以AB为直径的圆,DC的延长线与AB的延长线交于点E.
(Ⅰ)求证:DC是⊙O的切线;
(Ⅱ)若EB=6,EC=6 ,求BC的长.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
:
(
)的离心率为
,连接椭圆
的四个顶点所形成的四边形面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆上点
到定点
(
)的距离的最小值为1,求
的值及点
的坐标;
(3)如图,过椭圆的下顶点作两条互相垂直的直线,分别交椭圆
于点
,
,设直线
的斜率为
,直线
:
分别与直线
,
交于点
,
.记
,
的面积分别为
,
,是否存在直线
,使得
?若存在,求出所有直线
的方程;若不存在,说明理由.
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