【题目】在平面直角坐标系中,椭圆: ()的离心率为,连接椭圆的四个顶点所形成的四边形面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆上点到定点()的距离的最小值为1,求的值及点的坐标;
(3)如图,过椭圆的下顶点作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点, ,设直线的斜率为,直线: 分别与直线, 交于点, .记, 的面积分别为, ,是否存在直线,使得?若存在,求出所有直线的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)的值为2,点的坐标为(3),
【解析】试题分析:(1)根据题意列出式子解得从而得到椭圆方程;(2)根据点点距公式得到,研究这个函数的最值即可;(3)联立直线和椭圆得到二次方程, ,将面积比转化为坐标之比代入即可。
解析:
(1)由题意得: 解得
所以椭圆的标准方程为.
(2)设,由定点,考虑距离的平方:
则,
二次函数的图象对称轴为,
由椭圆方程知,
由题设知,
①当,即时,在时有,
解得,不符合题意,舍去;
②当,即时,由单调性知:在时有,
解得或(舍).
综上可得: 的值为2,点的坐标为.
(3)由(1)知, ,则直线的方程为,
联立消去并整理得,解得;
直线的方程为,同理可得.
联立解得,同理可得,
所以,
即,解得或,
所以或,
故存在直线: , 满足题意.
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【题目】(本题满分8分)某班50名学生在一次数学测试中,成绩全部介于50与100之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),…,第五组[90,100].如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(Ⅰ)若成绩大于或等于60且小于80,认为合格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人数;
(Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为m、n,求事件“|m﹣n|>10”概率.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是正三角形,底面ABCD为菱形,A点E为AD的中点,若BE=PE.
(1)求证:PB⊥BC;
(2)若∠PEB=120°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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【题目】设定义在上的函数对于任意实数,都有成立,且,当时,.
(1)判断的单调性,并加以证明;
(2)试问:当时,是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由;
(3)解关于的不等式,其中.
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【题目】已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.
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【题目】已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2) 令g(x)=(2-2m)x-f(x).
① 若函数g(x)在x∈[0,2]上是单调函数,求实数m的取值范围;
② 求函数g(x)在x∈[0,2]上的最小值.
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【题目】将两块三角板按图甲方式拼好,其中, , ,
,现将三角板沿折起,使在平面上的射影恰好在上,如图乙.
(1)求证: ;
(2)求证: 为线段中点;
(3)求二面角的大小的正弦值.
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