【题目】某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性,举行了一次奥运知识竞赛.随机抽取了30名学生的成绩,绘成如图所示的茎叶图,若规定成绩在75分以上(包括75分)的学生定义为甲组,成绩在75分以下(不包括75分)定义为乙组.
(Ⅰ)在这30名学生中,甲组学生中有男生7人,乙组学生中有女生12人,试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关;
(Ⅱ)记甲组学生的成绩分别为x1 , x2 , …,x12 , 执行如图所示的程序框图,求输出的S的值;
(Ⅲ)竞赛中,学生小张、小李同时回答两道题,小张答对每道题的概率均为 ,小李答对每道题的概率均为
,两人回答每道题正确与否相互独立.记小张答对题的道数为a,小李答对题的道数为b,X=|a﹣b|,写出X的概率分布列,并求出X的数学期望.
附:K2= ;其中n=a+b+c+d
独立性检验临界表:
P(K2>k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
【答案】解:(Ⅰ)作出2×2列联表:
甲组 | 乙组 | 合计 | |
男生 | 7 | 6 | 13 |
女生 | 5 | 12 | 17 |
合计 | 12 | 18 | 30 |
由列联表数据代入公式,计算得K2= =
≈1.83,
因为1.83<2.706,故没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关;
(Ⅱ)根据程序运行的过程,得出该程序运行后输出的是求甲组数据的平均数,
所以输出S= ×(75+75+76+76+78+80+81+81+82+84+87+91)=80.5;
(Ⅲ)由已知得X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=(1﹣ )(1﹣
)(1﹣
)+
(1﹣
)
=
,
P(X=1)=
(1﹣
)(1﹣
)+(1﹣
)(1﹣
)
+
=
,
P(X=2)=
(1﹣
)=
,
∴X的分布列为:
X | 0 | 1 | 2 |
P |
X的数学期望值为EX=0× +1×
+2×
=
【解析】(Ⅰ)作2×2列联表,计算K2 , 对照数表即可得出结论;(Ⅱ)根据程序运行的过程,得出该程序运行后输出的是求平均数,求出即可;(Ⅲ)由已知得X的可能取值,计算对应的概率值,写出X的分布列,计算数学期望值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.
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【题目】函数f(x)= 若a,b,c,d各不相同,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围是( )
A.(24,25)
B.[16,25)
C.(1,25)
D.(0,25]
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【题目】给定集合A={a1 , a2 , a3 , …,an}(n∈N* , n≥3)中,定义ai+aj(1≤i<j≤n,i,j∈N*)中所有不同值的个数为集合A两元素和的容量,用L(A)表示.若数列{an}是公差不为0的等差数列,设集合A={a1 , a2 , a3 , …,a2016},则L(A)= .
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【题目】已知实数a>0,b>0,函数f(x)=|x﹣a|﹣|x+b|的最大值为3.
(I) 求a+b的值;
(Ⅱ)设函数g(x)=﹣x2﹣ax﹣b,若对于x≥a均有g(x)<f(x),求a的取值范围.
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【题目】如图,在△ABC和△ACD中,∠ACB=∠ADC=90°,∠BAC=∠CAD,⊙O是以AB为直径的圆,DC的延长线与AB的延长线交于点E.
(Ⅰ)求证:DC是⊙O的切线;
(Ⅱ)若EB=6,EC=6 ,求BC的长.
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【题目】已知定义在[﹣ ,
]的函数f(x)=sinx(cosx+1)﹣ax,若y=f(x)仅有一个零点,则实数a的取值范围是( )
A.( ,2]
B.(﹣∞, )∪[2,+∞)
C.[﹣ ,
)
D.(﹣∞,﹣ ]∪(
,+∞)
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【题目】已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若点M(6,9)在圆上,求a的值;
(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3),线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点,求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=(x+1)e2x , g(x)=aln(x+1)+ x2+(3﹣a)x+a(a∈R).
(1)当a=9,求函数y=g(x)的单调区间;
(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围.
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