Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： (a＞b＞0)的一条准线方程为x＝，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，设A为椭圆的上顶点，过点A作两条直线AM，AN，分别与椭圆C相交于M，N两点，且直线MN垂直于x轴．

① 设直线AM，AN的斜率分别是k1， k2，求k1k2的值；

② 过M作直线l1⊥AM，过N作直线l2⊥AN，l1与l2相交于点Q．试问：点Q是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ＋y2＝1．(2) ① ② 点Q在一条定直线y＝－1上

【解析】试题分析：（1）根据题中条件得： ,即可得解；

（2）①根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，故可设M(x0，y0)，N(x0，－y0)( x0≠0，y0≠0)，由k1k2＝，及点在椭圆上即可得解；

②设Q(x1，y1)，用坐标表示斜率，通过垂直得斜率之积为-1，可得(y0－1)(y1－y0)＝－x0 (x1－x0)，(－y0－1)(y1＋y0)＝－x0 (x1－x0)，化得(y1＋1) y0＝0，所以y1＝－1，得证.

试题解析：

（1）设椭圆C：＋＝1的半焦距为c．

由题意，得 解得从而b＝1．

所以椭圆C的方程为＋y2＝1．

（2）①根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，

故可设M(x0，y0)，N(x0，－y0)( x0≠0，y0≠0)，

从而 k1k2＝·＝．

因为点M在椭圆C上，所以＋y02＝1，所以1－y02＝，

所以k1k2＝＝．

②设Q(x1，y1)，依题意A(0，1)．

因为l1⊥AM，所以·＝－1，即(y0－1)(y1－y0)＝－x0 (x1－x0)；

因为l2⊥AN，所以·＝－1，即(－y0－1)(y1＋y0)＝－x0 (x1－x0)，

故 (y0－1)(y1－y0)－(－y0－1)(y1＋y0)＝0，

化得(y1＋1) y0＝0．

从而必有y1＋1＝0，即y1＝－1．

即点Q在一条定直线y＝－1上．