Question

设函数f（x）=x³+ax²-9x-1（a＜0），若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：
（1）a的值；
（2）函数f（x）的单调区间；
（3）函数f（x）的极大值和极小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先求出导函数的最小值，最小值与直线12x+y=6的斜率相等建立等式关系，求出a的值即可；
（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，解得的区间就是所求；
（3）利用（2），可得函数f（x）的极大值和极小值．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²+2ax-9（…1分）=3(x+

a

3

)2-9-

a2

3

，
即当x=-

a

3

时，f'（x）取得最小值-9-

a2

3

…（3分）．
因为斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为-12，
所以-9-

a2

3

=-12…（5分），解得a=-3或3（舍去）…（6分）
（2）由（1）知a=-3，因此f（x）=x³-3x²-9x-1，f'（x）=3x²-6x-9，
令f'（x）＜0，即3x²-6x-9＜0，解得-1＜x＜3；…（8分）
令f'（x）＞0，即3x²-6x-9＞0，解得x＜-1或x＞3；…（10分）
所以，函数f（x）的单调递减区间为[-1，3]；单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞）…（11分）
（3）令f'（x）=0，即3x²-6x-9=0，解得x=-1或3…（12分），
结合（2）当x=-1时，f（x）_极大值=f（-1）=4；
当x=3时，f（x）_极小值=f（3）=-28…（14分）．

点评：本小题主要考查导数的几何意义、极值，及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的解法等基础知识，属于中档题．