Question

8．已知定义域为R的奇函数f（x）满足：当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（x+2）．
（1）求f（x）的解析式，并讨论f（x）的单调性；
（2）若实数x满足f（x²-bx）＜f（$\frac{x-b}{2}$），其中常数b∈R，试求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质即可求f（x）的解析式，利用数形结合即可判断f（x）的单调性；
（2）格局函数单调性的性质将不等式进行转化，利用一元二次不等式的解法进行求解即可．

解答 解：（1）当-x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（x+2）．
∴当-x∈（0，+∞）时，f（-x）=-x（-x+2）．
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-x（-x+2）=-f（x）．
即f（x）=-x（x-2），
当x=0时，f（0）=0，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x+2），}&{x≥0}\\{-x（x-2），}&{x＜0}\end{array}\right.$，
作出函数f（x）的图象，则函数f（x）为增函数．
（2）∵f（x）为增函数，
∴由f（x²-bx）＜f（$\frac{x-b}{2}$），
得x²-bx＜$\frac{x-b}{2}$，
即2x²-2bx＜x-b，
即2x²-（2b+1）x+b＜0，
即（x-b）（2x-1）＜0，
则2（x-b）（x-$\frac{1}{2}$）＜0，
若b=$\frac{1}{2}$，则不等式等价为（x-$\frac{1}{2}$）²＜0，此时不等式无解，
若b＞$\frac{1}{2}$，则不等式的解为$\frac{1}{2}$＜x＜b，
若b＜$\frac{1}{2}$，则不等式的解为b＜x＜$\frac{1}{2}$，
综上若b=$\frac{1}{2}$，则不等式的解集为∅．
若b＞$\frac{1}{2}$，则不等式的解集为（$\frac{1}{2}$，b），
若b＜$\frac{1}{2}$，则不等式的解集为（b，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．利用分类讨论的思想是解决含有参数的一元二次不等式的基本思想．